Как сравнивать числа

На числовой прямой большее число находится правее меньшего. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше нуля. Среди отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю: например, $-2>-5$.

Чтобы сравнить десятичные дроби, удобно дописать нули справа после запятой. Значение числа при этом не меняется: $4{,}8=4{,}80$. Но для отрицательных чисел порядок обратный: из $4{,}80>4{,}08$ следует $-4{,}80$.

Разбор 1. Отрицательные числа на числовой прямой

Расположите числа в порядке возрастания:

$$-4{,}8;\quad -4{,}08;\quad -3{,}9;\quad 0.$$

Все отрицательные числа меньше нуля. Первым должно стоять самое далёкое от нуля отрицательное число.

1. Выравниваем десятичные записи: $-4{,}8=-4{,}80$. Ноль справа после запятой не меняет значение числа.
2. Сравниваем числа около $-4$. Число $-4{,}80$ дальше от нуля, поэтому $-4{,}80$.
3. Добавляем $-3{,}9$ и $0$: число $-3{,}9$ ближе к нулю, чем оба предыдущих, а ноль больше любого из них.

$$-4{,}80$$

Ответ: $-4{,}8; -4{,}08; -3{,}9; 0$.

Проверка: в полученной цепочке каждое следующее число расположено правее предыдущего.

Типичная ошибка — сравнивать только цифры после запятой и забывать, что числа отрицательные.

Как выполнять действия с отрицательными числами

$$-7+(-5)=-12,\qquad -7+5=-2,\qquad -5+7=2.$$

Вычитание числа можно заменить прибавлением противоположного: $a-b=a+(-b)$. Поэтому $8-(-3)=8+3=11$. При раскрытии скобок после минуса знак каждого слагаемого внутри меняется: $-(a-b)=-a+b$.

При умножении и делении двух ненулевых чисел одинаковые знаки дают плюс, разные — минус. Это правило относится к умножению и делению, а не ко всем действиям с двумя минусами: $(-3)+(-2)=-5$, но $(-3)\cdot(-2)=6$.

На ноль делить нельзя. Если делитель не равен нулю, то ноль, разделённый на этот делитель, равен нулю.

Основание степени и знак минус

Если отрицательное основание заключено в скобки, в степень возводится всё число. Чётная степень отрицательного числа положительна, нечётная отрицательна:

$$(-3)^2=9,\qquad (-3)^3=-27.$$

В записи без скобок минус перед степенью не входит в основание:

$$-3^2=-(3\cdot3)=-9,\qquad (-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9.$$

Для ненулевого $a$ выполняется $a^0=1$. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают, при делении — вычитают. В формуле деления основание должно быть ненулевым:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\qquad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a\ne0).$$

Например, $10^5:10^2=10^3$. Умножение десятичного числа на $10$, $100$, $1000$ переносит запятую вправо на один, два, три разряда; деление — влево.

Разбор 2. Минус перед степенью и отрицательное основание

Вычислите:

$$-3^2+(-3)^2-2\cdot(-4).$$

Первые два слагаемых взаимно уничтожатся, а последнее будет положительным.

1. Вычисляем степень без скобок: $-3^2=-(3^2)=-9$. Минус не входит в основание.
2. Вычисляем степень со скобками: $(-3)^2=(-3)\cdot(-3)=9$.
3. Определяем знак последнего слагаемого: $-2\cdot(-4)=8$.
4. Складываем: $-9+9+8=8$.

Ответ: $8$.

Если получился отрицательный результат, потерян знак: первые два слагаемых дают ноль, остаётся положительное число $8$.

В каком порядке выполнять действия

Сначала выполняют действия в скобках. Внутри скобок соблюдают тот же порядок, что и во всём выражении: степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание. При нескольких уровнях скобок начинают с внутренних.

Дробная черта заменяет деление и группирует весь числитель и весь знаменатель. Например, в $\frac{12-4}{2+2}$ отдельно получают числитель $8$ и знаменатель $4$, затем делят: результат равен $2$.

Разбор 3. Порядок действий в многошаговом выражении

Вычислите:

$$36-4\cdot(7-10)+\frac{18}{3^2}.$$

В скобках получится отрицательное число. Значит, вычитание произведения увеличит исходное число $36$.

1. Выполняем действие в скобках и возводим в степень: $7-10=-3$, $3^2=9$.
2. Выполняем умножение и деление: $4\cdot(-3)=-12$, $18:9=2$.
3. Подставляем результаты. Вычитание отрицательного числа заменяем сложением:

$$36-(-12)+2=36+12+2=50.$$

Ответ: $50$.

Проверка: к $36$ прибавились $12$ и $2$, поэтому результат больше $36$. Начинать с действия $36-4$ здесь нельзя.

Распределительное свойство

Одно и то же выражение иногда можно вычислить несколькими способами. Распределительное свойство позволяет заменить два умножения одним:

$$ab+ac=a(b+c),\qquad ab-ac=a(b-c).$$

Общий множитель должен входить в каждое слагаемое. Например, $17\cdot8+17\cdot2=17(8+2)=170$. Проверить преобразование можно раскрытием скобок.

Разбор 4. Рациональный счёт через вынесение общего множителя

Вычислите без длинного умножения:

$$48\cdot219-48\cdot19.$$

Разность $219-19$ — круглое число, поэтому удобно сначала вынести общий множитель $48$.

1. Преобразуем выражение: $48\cdot219-48\cdot19=48(219-19)$.
2. Вычисляем разность в скобках: $219-19=200$.
3. Умножаем: $48\cdot200=9600$.

Ответ: $9600$.

Прикидка: отдельные произведения близки к $10\,500$ и $900$, их разность — к $9600$. Два длинных умножения тоже дадут правильный ответ, но потребуют больше действий.

Как проверить делимость числа

Признаки делимости позволяют определить, делится ли целое число без остатка, не выполняя деление.

Если в записи числа пропущена цифра, её обозначают буквой и применяют нужный признак. Например, число $52x1$ делится на $9$, когда $5+2+x+1=8+x$ кратно $9$. Для цифры $x$ от $0$ до $9$ подходит только $x=1$.

Что означает дробь и как её сокращать

В дроби $\frac{a}{b}$ числитель $a$ делится на знаменатель $b$, причём $b\ne0$. Числитель показывает, сколько долей взято, а положительный знаменатель — на сколько равных долей разделено целое. Например, $\frac{3}{4}$ означает три четверти.

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. При сокращении делят на общий множитель: $\frac{18}{24}=\frac{3}{4}$, потому что оба числа разделили на $6$.

Сложение, вычитание, умножение и деление дробей

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}.$$

Сумма $\frac{2+1}{3+4}$ была бы неверной: знаменатели обозначают размеры долей, поэтому сначала нужно перейти к одинаковым долям.

При умножении дробей перемножают числители и знаменатели. Сокращать общие множители удобно до умножения:

$$\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}=\frac{3\cdot10}{5\cdot9}=\frac{2}{3}.$$

При делении на ненулевую дробь умножают на обратную ей дробь. Меняют местами числитель и знаменатель делителя, первая дробь остаётся прежней:

$$\frac{4}{7}:\frac{2}{3}=\frac{4}{7}\cdot\frac{3}{2}=\frac{6}{7}.$$

Смешанные числа и переход к десятичной записи

Полезные равенства: $\frac12=0{,}5$, $\frac14=0{,}25$, $\frac34=0{,}75$, $\frac15=0{,}2$, $\frac18=0{,}125$. Если дробь превращается в бесконечную десятичную, промежуточное округление может испортить ответ. Например, $\frac13$ лучше оставить дробью, если дальше требуется умножение на $3$.

Чтобы найти дробь от числа, число умножают на эту дробь. Например, $\frac25$ от $30$ равно $30\cdot\frac25=12$. Если часть известна и составляет $\frac25$ целого, целое находят делением на $\frac25$.

Действия с десятичными дробями

При сложении и вычитании записывают запятую под запятой, совмещая одинаковые разряды. Недостающие разряды можно дополнить нулями: $2{,}5-0{,}37=2{,}50-0{,}37=2{,}13$.

При умножении сначала перемножают числа без запятых. Затем в результате отделяют справа столько десятичных знаков, сколько их было в обоих множителях вместе: $0{,}12\cdot0{,}3=0{,}036$. Если цифр не хватает, слева дописывают нули.

Разбор 5. Десятичные дроби без калькулятора

Вычислите:

$$\frac{5{,}04}{0{,}12}-1{,}6\cdot2{,}5.$$

Первое слагаемое близко к $40$, вычитаемое — к $4$. Результат ожидается примерно в диапазоне от $36$ до $40$; это прикидка, а не точное вычисление.

1. Умножаем делимое и делитель на $100$:

$$\frac{5{,}04}{0{,}12}=\frac{504}{12}=42.$$

2. Находим произведение. В обоих множителях вместе два знака после запятой:

$$1{,}6\cdot2{,}5=\frac{16\cdot25}{100}=\frac{400}{100}=4.$$

3. Вычитаем: $42-4=38$.

Ответ: $38$.

Проверка деления: $0{,}12\cdot42=5{,}04$. Результат согласуется с прикидкой.

Процент от числа и число по его проценту

Если исходная величина равна $A$, то $p\%$ от неё составляют:

$$B=A\cdot\frac{p}{100}.$$

Например, $20\%$ от $350$ — это $350\cdot0{,}2=70$. Для обратной задачи, когда известна часть $B$ и её процент $p>0$, нужно разделить:

$$A=\frac{B}{p/100}.$$

Если $70$ составляет $20\%$ целого, всё число равно $70:0{,}2=350$. Найти ещё $20\%$ от $70$ было бы неверно: искомое целое больше своей части.

Скидки, наценки и последовательные изменения

После увеличения положительной величины на $p\%$ остаётся $100+p$ процентов исходной величины. После уменьшения на $p\%$ — $100-p$ процентов. Поэтому удобно использовать коэффициенты:

$$A_{\text{нов}}=A\left(1+\frac{p}{100}\right),$$

$$A_{\text{нов}}=A\left(1-\frac{p}{100}\right).$$

Например, цена $1800$ рублей после скидки $10\%$ равна $1800\cdot0{,}9=1620$ рублей. Если известна конечная цена, первоначальную находят делением на коэффициент: $1620:0{,}9=1800$.

$$2000\cdot0{,}9\cdot1{,}1=1980.$$

Для обратной задачи конечную величину делят на произведение коэффициентов. Например, если после повышения на $25\%$ и скидки $20\%$ цена стала $2400$, то исходная цена равна $2400:(1{,}25\cdot0{,}8)=2400$.

Прямая пропорциональность

Если при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз, величины прямо пропорциональны. При неизменном рецепте количество муки прямо пропорционально числу порций; при постоянной цене стоимость прямо пропорциональна количеству товара.

Удобно сначала найти величину для одной единицы. Если на $8$ порций требуется $240$ г продукта, на одну порцию нужно $240:8=30$ г, а на $14$ порций — $30\cdot14=420$ г.

Можно записать пропорцию $\frac{240}{8}=\frac{x}{14}$. Равенство $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ при ненулевых знаменателях равносильно $ad=bc$. Но применять пропорцию можно только после проверки связи величин: тариф с фиксированной платой за посадку не является прямо пропорциональным всему расстоянию.

Перевод единиц времени, длины и площади

Перед подстановкой в формулу величины приводят к согласованным единицам. Час содержит $60$ минут, метр — $100$ сантиметров, килограмм — $1000$ граммов.

Коэффициент перевода площади возводится в квадрат, потому что меняются две длины. Квадрат со стороной $1$ м имеет стороны по $100$ см и площадь $100\cdot100=10\,000$ см².

Расстояние, скорость и время

При постоянной скорости расстояние равно произведению скорости на время:

$$s=vt,\qquad v=\frac{s}{t} (t>0),\qquad t=\frac{s}{v} (v>0).$$

Если скорость выражена в км/ч, время нужно выразить в часах, тогда расстояние получится в километрах.

Разбор 6. Перевод минут в часы в задаче на движение

Поезд движется со скоростью 72 км/ч в течение 35 минут. Какое расстояние он пройдёт?

За половину часа поезд прошёл бы $36$ км. За $35$ минут расстояние должно быть немного больше $36$ км и меньше $72$ км.

1. Переводим минуты в часы:

$$35\text{ мин}=\frac{35}{60}\text{ ч}=\frac{7}{12}\text{ ч}.$$

2. Подставляем в формулу: $s=72\cdot\frac{7}{12}$.
3. Сокращаем до умножения: $72\cdot\frac{7}{12}=6\cdot7=42$.

Ответ: $42$ км.

Проверка: $36$. Умножать $72$ на $35$ без перевода единиц нельзя.

Среднее арифметическое и средняя скорость

Среднее арифметическое нескольких чисел — их сумма, разделённая на количество. Например, для чисел $8$, $11$, $14$ оно равно $(8+11+14):3=11$.

Среднее арифметическое скоростей подходит для двух этапов только при равной продолжительности движения. Если равны расстояния, время на медленном участке больше, и просто сложить скорости и разделить на два нельзя.

Например, первые $120$ км автомобиль прошёл со скоростью $60$ км/ч, следующие $120$ км — со скоростью $40$ км/ч. Время равно $120:60+120:40=2+3=5$ ч. Средняя скорость $240:5=48$ км/ч, а не $50$ км/ч. Если на пути есть остановки и требуется скорость за всё время поездки, время остановок включают в знаменатель.

Масштаб и площадь прямоугольника

Масштаб $1:n$ означает, что одна единица длины на плане соответствует $n$ таким же единицам в действительности. При масштабе $1:200$ отрезок $6$ см соответствует $6\cdot200=1200$ см, то есть $12$ м. Сначала умножают в одинаковых единицах, затем переводят результат.

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину: $S=ab$. Стороны должны быть выражены в одинаковых единицах. Если обе стороны даны в метрах, площадь получается в квадратных метрах.

Обычное округление

При округлении до заданного разряда смотрят на следующую цифру. Если она от $0$ до $4$, последнюю сохраняемую цифру не меняют. Если от $5$ до $9$ — увеличивают её на единицу, при необходимости перенося единицу в старший разряд.

Например, $6{,}284\approx6{,}28$ до сотых, а $6{,}287\approx6{,}29$. Для $9{,}996$ округление до сотых даёт $10{,}00$. Знак $\approx$ означает приближённое равенство: заменять его знаком точного равенства нельзя.

Разбор 7. Округление по смыслу: упаковки материала

Комната имеет размеры 4,7 м × 4,8 м. Одна упаковка ламината покрывает 2,2 м². Сколько целых упаковок нужно купить?

Десять упаковок покрывают $22$ м². Площадь комнаты немного больше, поэтому десяти упаковок заведомо не хватит.

1. Находим площадь: $S=4{,}7\cdot4{,}8=22{,}56$ м².
2. Находим расчётное число упаковок:

$$\frac{22{,}56}{2{,}2}\approx10{,}25.$$

3. Купить дробную часть упаковки нельзя, а материала должно хватить. Берём следующее целое число: $11$.

Ответ: $11$ упаковок.

Проверка: $10\cdot2{,}2=22$, но $11\cdot2{,}2=24{,}2\ge22{,}56$.

Когда округлять вверх, а когда вниз

Например, из $2{,}3$ л напитка можно наполнить $2{,}3:0{,}4=5{,}75$ стакана вместимостью $0{,}4$ л. Полных стаканов будет $5$. Чтобы разлить весь напиток, понадобятся $6$ таких стаканов, последний будет неполным.

Если материал покупают с запасом, сначала увеличивают требуемое количество на указанный процент, а затем делят на размер упаковки. Промежуточный результат не округляют без необходимости: важное сравнение с целым числом упаковок выполняют по точным данным.

Как учитывать тарифы и искать минимальную стоимость

Стоимость по постоянной цене равна цене единицы, умноженной на количество. Расход по счётчику — разность конечного и начального показаний; плата равна расходу, умноженному на тариф. Сдача — внесённая сумма минус полная стоимость покупки.

Если тариф содержит фиксированную часть, её считают отдельно. Например, первые $2$ км стоят $100$ рублей, каждый следующий километр — $20$ рублей. Для поездки ровно $9$ км стоимость равна $100+(9-2)\cdot20=240$ рублей. Первые два километра уже оплачены, учитывать их повторно нельзя.

Если товар продаётся упаковками и поштучно, сравнивают допустимые комбинации. Выгодная цена за одну штуку в упаковке ещё не означает, что нужно брать только упаковки: лишние товары тоже оплачиваются. Для доказательства минимума можно перебрать возможное число упаковок либо показать, почему замена нескольких отдельных товаров упаковкой уменьшает стоимость.

С чего начать подготовку к профильному ЕГЭ при слабой базе?

С действий с числами: знаков, порядка действий, дробей и процентов. Этот урок даёт вычислительные правила, которые затем используются в уравнениях, функциях и текстовых задачах. По результатам теста можно вернуться к конкретной теме, в которой возникла ошибка.

Это задания базового или профильного ЕГЭ?

Это начальный урок курса подготовки к профильному ЕГЭ. Банк состоит из учебных упражнений на вычислительные навыки. Он не является вариантом экзамена: простые практические задачи помогают восстановить основу перед более сложными темами курса.

Можно ли пользоваться калькулятором в этом тесте?

Тест рассчитан на выполнение без калькулятора. Условия, числа и объём вычислений сохранены из исходного комплекта. Ответ и ход решения каждого задания можно раскрыть отдельно на странице теста.