Учебный курс «Алгебра» (Интенсив по математике)

Числа и вычисления

Степень с натуральным показателем. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дроби к новому знаменателю. Сравнение дробей. Сложение и вычитание дробей. Умножение и деление дробей, взаимно-обратные дроби. Нахождение части целого и целого по его части.

Десятичная запись дробей. Представление десятичной дроби в виде обыкновенной. Сравнение десятичных дробей. Арифметические действия с десятичными дробями. Округление десятичных дробей. Арифметические действия и числовые выражения с обыкновенными и десятичными дробями.

Вычисление процента от величины и величины по её проценту. Выражение процентов десятичными дробями. Решение задач на проценты. Выражение отношения величин в процентах.

Деление в данном отношении. Масштаб, пропорция. Применение пропорций при решении задач.

Положительные и отрицательные числа. Сравнение чисел. Арифметические действия с положительными и отрицательными числами.

Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе. Свойства арифметических квадратных корней и их применение к преобразованию числовых выражений и вычислениям. Действительные числа.

Степень с целым показателем и её свойства.

Рациональные числа, конечные и бесконечные десятичные дроби. Множество действительных чисел, действительные числа как бесконечные десятичные дроби. Взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и координатной прямой. Сравнение действительных чисел, арифметические действия с действительными числами.

Решение текстовых задач арифметическим способом

Решение различных текстовых задач арифметическим способом. Решение задач, связанных с отношением, пропорциональностью величин, процентами; решение основных задач на дроби и проценты.

Оценка и прикидка, округление результата. Составление буквенных выражений по условию задачи.

Алгебраические выражения

Представление зависимости между величинами в виде формулы. Вычисления по формулам.

Преобразование буквенных выражений, тождественно равные выражения, правила преобразования сумм и произведений, правила раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Разложение многочленов на множители.

Алгебраическая дробь. Основное свойство алгебраической дроби. Сложение, вычитание, умножение, деление алгебраических дробей. Рациональные выражения и их преобразование.

Уравнения и неравенства

Линейное уравнение с одной переменной, число корней линейного уравнения, решение линейных уравнений. Составление уравнений по условию задачи. Решение текстовых задач с помощью уравнений.

Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Система двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение систем уравнений способом подстановки. Примеры решения текстовых задач с помощью систем уравнений.

Квадратное уравнение, неполные квадратные уравнения, формула корней квадратного уравнения. Решение уравнений, сводящихся к линейным и квадратным.

Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и систем линейных уравнений с двумя переменными. Примеры решения систем нелинейных уравнений с двумя переменными.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

Числовые неравенства и их свойства. Неравенство с одной переменной.

Линейные неравенства с одной переменной. Системы линейных неравенств с одной переменной.

Решение дробно-рациональных уравнений.

Решение систем двух уравнений, одно из которых линейное, а другое – второй степени.

Биквадратное уравнение. Примеры решения уравнений третьей и четвёртой степеней разложением на множители.

Квадратные неравенства. Метод интервалов.

Функции

Чтение графиков реальных зависимостей. Понятие функции. График функции. Свойства функций.

Линейная функция, её график.

Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональные зависимости, их графики и свойства. Функции y = x2, y = x3, y = √x, их графики и свойства.

Квадратичная функция, её график и свойства. Парабола, координаты вершины параболы, ось симметрии параболы.

Числовые последовательности и прогрессии

Понятие числовой последовательности. Задание последовательности рекуррентной формулой и формулой n-го члена.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов.

Сложные проценты.

Вероятность и статистика

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Заполнение таблиц, чтение и построение диаграмм (столбиковых (столбчатых) и круговых). Чтение графиков реальных процессов. Извлечение информации из диаграмм и таблиц, использование и интерпретация данных.

Элементарные события случайного опыта. Случайные события. Вероятности событий. Опыты с равновозможными элементарными событиями.

Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Условная вероятность. Правило умножения. Независимые события.

Перестановки и факториал. Сочетания и число сочетаний. Размещения. Решение задач с использованием комбинаторики.